Energia Potencial = Energia Armazenada ¶
- Capacitores de equipamentos eletrônicos, armazenam energia potencial elétrica.
- Uma Barragem armazena energia potencial gravitacional.
- Uma pilha, armazena energia química.
Teorema Fundamental da Integral de Linha ¶
Assim como existe um teorema fundamental do cálculo,
- $\int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a)$ para integrais definidas
- $\int F'(x)dx=F(x) + C$, onde $C$ é uma constante de integração, para integrais indefinidas.
Existe algo análogo para integrais de linha.
Teorema fundamental da integral de linha formalmente.¶
Seja $s$ uma curva lisa descrita por $r(t)$, $a\leq t\leq b$. Seja $f$ uma função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente $\vec{\nabla}$ é continuo em $s$. Nesse caso,
$$W=\int_s\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_s\vec{\nabla}f\cdot d\vec{l}=f(\vec{r}(a))-f(\vec{r}(b))$$resultado equivalente a integral definida.
$$W=\int_s\vec{F}\cdot d\vec{l}=\int_s\vec{\nabla}f\cdot d\vec{l}=f(\vec{r}(t))+C$$resultado equivalente a integral indefinida.
Notadamente, quem executa a função de derivada no caso multidimensional é o $\vec{\nabla}f$.
Teorema fundamental da integral de linha na prática.¶
• Imediatamente se encontra o resultado que $\oint_s\vec{F}\cdot d\vec{l}=0$, para $\vec{F}=\vec{\nabla}f$.
• $\vec{F}$ é chamado de Campo vetorial conservativo se $\vec{F}=\vec{\nabla}f$.
Energia potencial.¶
Se isso for válido, então $\vec{F}$ é uma de Força Conservativa.
A Energia potencial é sempre uma relação entre 2 posições, mas é possível estabelecer uma função energia potencia, ao se estabelecer uma referência.
- É possível estabelecer uma energia $U_0$ na origem do sistema.
- É possível arbitrar uma posição $r_0$ em que $U(r_0)=0$.
- Essas possibilidades podem ser utilizadas simultaneamente.
Energia potencial - Em Mecânica Básica.¶
- $U_g(y)=m\;g\;y$ - Energia potencial gravitacional nas imediações da Terra, com $U_g(0)=0$; A referência está em $y=0$ e vale 0.
- $U_k(x)=\frac{1}{2}\;k\;x^2$ - Energia potencial elástica, com $U_k(0)=0$; A referência está sobre o ponto de equilíbrio (que pode ser ou não $x_0=0$) e vale 0.
- $U_G(r)=G\;\frac{M\;m}{r}$ - Energia potencial Gravitacional, com $U_G(r^{-1}\rightarrow0)=0$; A referencia está infinito e vale 0.
Para cada exemplo, é possível estabelecer outra referência. Isso altera o valor da Função Energia Potencial $(U)$, mas não altera o valor da variação da Energia Potencial $(\Delta U)$.
- Lavoisier - Estabeleceu uma Lei de Conservação de Massa em 1785.
- Helmholtz (que era médico) - Estabeleceu que algo semelhante é válido para Energia Eletromagnética e Mecânica em 1847.
Cronologia da Transformação da Energia¶
- 1768 - Watt - Térmica→cinética (máquina térmica)
- 1800 - Volta - Química→elétrica (pilha)
- 1820 - Oersted - Elétrica→magnética (eletroímã)
- 1821 - Seebeck - Térmica→elétrica (termopar)
- 1831 - Faraday - Magnética→elétrica (indução eletromagnética)
- 1840 - Joule - Elétrica→térmica (efeito joule)
- 1900 - Einstein - Massa→energia ($E=mc^2$)
Lei da Conservação da Energia (super ampla)¶
$$\Delta E_{Universo}=0$$
A energia total do Universo se Conserva.
$$ E_{Universo}= \sum_i E_{Sis_i}$$A energia do Universo é composta pela soma das energias de cada sistema que o compõe.
A variação da Energia em um sistema é determinada pelo saldo entre o que entra e o que sai de energia (como em finanças).
Conservação da Energia Mecânica¶
Um sistema livre de forças não-conservativas,
$$ E_{Mec}=K_{Sis}+U_{Sis}=Constante$$- Portanto, variação da Energia é Zero para um sistema isolado, $\Delta E_{Mec}=0$. Isso vale inclusive infinitesimalmente $dE_{Mec}=0$.
- Ou ainda, a energia mecânica de um sistema isolado é a mesma em qualquer dois momentos, $E_{Mec_f}=E_{Mec_i}$.
Solução:
#Dados
m=3 # Massa do bloco em kg.
vi=7 # Velocidade Inicial do bloco em m/s.
theta=40 #Inclinação do plano em graus.
g=9.8 #Aceleração da gravidade em m/s²
# l=? Distância percorrida sobre o plano inclinado, é o que desejamos calcular.
Pelo princípio da conservação da Energia:
$$E_{s_i}=E_{s_f}$$¶
- A energia mecânica do sistema é, $E_{s}=K+U_g$, tanto no instante inicial (i) quanto no final (f).
- Colocando a referencia da energia potencial na altura do piso, $U_{g_i}(0)=0$. A energia do sistema no início é
$E_{s_i}=K_i+U_{g_i}=\frac{1}{2}\;m\;v^2$
- O bloco sobe até uma certa altura até parar. Então não haverá energia cinética no final do movimento.
- Usando a conservação da Energia $E_{s_i}=E_{s_f}\Rightarrow \frac{1}{2}\;m\;v^2=m\;g\;y\Rightarrow y=\frac{v^2}{2\;g}$
- Não desejamos $y$ (altura máxima), desejamos o quanto andou sobre o plano inclinado (chamaremos de l), isso sai usando trigonometria, $y=l\;sen(\theta)$
#Deslocamento sobre o plano inclinado (l)
l=vi**2/(2*10*np.sin(40*np.pi/180))
print('l =',np.round(l,2), 'm')
Ação de forças dissipativas¶
- Se houver esse tipo de força, então há trabalho sendo realizado por essas forças. Mas esse trabalho pode ser a conversão de energia.
Cabe analisar caso a caso.
- Neste curso, a única força dissipativa relevante será o atrito entre superfícies.
Exemplo Simples - Bloco descendo uma rampa qualquer¶
Um bloco desce de uma rampa sem atrito a partir do repouso e passa a uma pista plana com atrito. Responda
- Qual a rapidez do bloco no fim da descida?
- Qual a energia dissipada pelo atrito?
- Qual o coeficiente de Atrito cinético do conjunto pista bloco?
#Dados
m=2 # Massa do bloco em kg.
h=3 # Altura em que o bloco é solto em m.
s=9 # Distância que o bloco percorre na pista com atrito até parar em m.
g=9.8 #Aceleração da gravidade em m/s²
1) Solução:
- $v_f =?$ é a velocidade no fim da rampa, em m.
- A parte da rampa é muito semelhante ao que fizemos no problema com a rampa reta. Você pode revisitar. A diferença é que os papeis dos instantes inial e final foi trocado. Na prática o resultado principal que é a igualdade entre Energia Cinética e Energia Potencial gravitacional é mantido.
- Usando a conservação da Energia $E_{s_i}=E_{s_f}\Rightarrow m\;g\;h=\frac{1}{2}\;m\;v_f^2\Rightarrow $
Note que aqui poderíamos invocar o princípio da conservação da energia mecânica, mas o geral sempre vai valer.
# Substituindo os valores, encontramos...
print('vf =', np.round(np.sqrt(2*g*h),2),'m')
2) Solução:
- Como o bloco termina os 9 m e para ($v_f=0$ ou $K_f=0$) e se encontrará na referencia da energia potencial ($U_{gf}=0$). O princípio da conservação energia diz que a energia dissipada $(E_{diss})$ é a energia disponível no sistema no instante inicial. Note que aqui recorremos a conservação da energia no caso mais geral.
# Substituindo os valores, encontramos...
print('E_diss = ', np.round(m*g*h,2), 'J')
3) Solução:
O mecanismo de dissipação do atrito é por meio do trabalho da força de atrito.
$E_{diss}=W_{F_{at}}=\int_c \vec{F}_{at}\cdot d\vec{l}$, mas $\vec{F}_{at}\;\parallel\;d\vec{l}$ e tem módulo constante $F_{at}=\mu\;N$. A integral resulta em $E_{diss}=W_{F_{at}}=\mu_c\;N\;s$, onde $\mu$ é o coeficiente de atrito cinético que queremos descobrir, $N$ o módulo da força normal e $s$ o comprimento percorrido na região com atrito.
No plano horizontal, $N=m\;g$, concluímos que $\mu_c$ será,
# Substituindo os valores, encontramos...
print('µ_c =', np.round(h/s,2))
Exemplo Histórico: Que consta no livro do Galileu. ¶
Galileu demonstra que um objeto abandonado em C, chega com a mesma velocidade $(v=0)$ em qualquer dos pontos D, G ou I. Basta despresar efeitos dissipativos.
- Essa demonstração é trivial se usarmos o Princípio da Conservação da Energia, Galileu passou mais aperto, mas é um bom exemplo de como a ideia de energia facilita a vida na ciência.
Uma pergunta um pouco mais desafiadores é:¶
- ... qual a velocidade em B, nas mesmas condições do experimento de Galileu? Para padronizar a nomemclatura, o segmento AC tem comprimento l e o ângulo inicial que a corda faz com a vertical é $\theta$.
Solução
Vamos revisitar o desenho,
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- Apenas para variar, podemos definir a referencia da energia potencial gravitacional na altura em que a bola é largada, seria o ponto C no desenho original. $(U_{gi}(C)=0)$. Como a bola é abandonada, então $K_i=0$.
No ponto mais baixo da trajetória, ponto B no desenho original, a energia potencial será $U_gf(B)=-m\;g\;h$. Isso mesmo, como a referencia está num ponto acima do ponto avaliado, então o ponto B tem energia potencial NEGATIVA.
Nesse ponto B, a Energia Cinética será, $K_f=\frac{1}{2}\;m\;v_f^2$
Pelo princípio da Conservação da Energia Mecânica
$$E_{s_i}=E_{s_f} \Rightarrow K_{i}+U_{gi}=K_{f}+U_{gf}\Rightarrow \frac{1}{2}\;m\;v_f^2-m\;g\;h=0 $$Encontramos o resultado de sempre,
$$v_f=\sqrt{2\;g\;h}$$Falta encontrar $h$.
- Além disso, como o movimento ocorre preso a corda, podemos identificar que $l=l\;cos(\theta)+h$, então $h=l(1-cos(\theta))$.
então,
$$v_f=\sqrt{2\;g\;l\;(1-cos(\theta))}$$Outra pergunta desafiadores:¶
- ...retirado o prego de E, e usando $\theta=\frac{\pi}{2}$, qual altura máxima pode ter o prego F (em relação a B) para que o fio permaneça tenso enquanto a bola completa uma volta inteira em torno do prego? Considere um prego de espessura despresível.
- Nosso objetivo é encontrar o valor máximo que o segmento $BF$ (que dirá a posição do prego), para que a bolinha gire ainda tensionada.
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- Vamos fazer isso sem frescuras, vamos colocar a origem em B, como os pontos serão tomados a partir de B, parece ser uma boa escolha. Vamos colocar em B também a referencia para a energia potencial. $U_{g0}(B)=0$.
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Vamos fazer isso sem frescuras, vamos colocar a origem em B, como os pontos serão tomados a partir de B, parece ser uma boa escolha. Vamos colocar em B também a referencia para a energia potencial. $U_{g0}(B)=0$.
A bolinha parte com $\theta=\frac{\pi}{2}$, então a altura dela em relação a B é $l$. Como a bolinha parte do repouso, ela tem apenas energia potencial. Então
- Quando a bolinha estiver no ponto mais alto do loop ao redor do prego, sua altura será 2x a altura do prego. E sua velocidade (não conhecida ainda) é diferente de zero.
- Para encontrar a velocidade, teremos de recorrer a 2ª Lei de Newton e a resultados do Movimento Circular.
Genericamente a segunda aplicado ao movimento circular com raio constante nos dará.
$$\vec{P}+\vec{T}=-\frac{m\;v^2}{R}\hat{r}+r\;\ddot{\theta}\;\hat{\theta}$$Esse ponto é o mais elevado para o giro ao redor do prego, então é o de menor velocidade instantânea (linear ou ângular). Se é um ponto de mínimo, então a derivada nesse ponto é ZERO. Logo $\ddot{\theta}=\dot{\omega}=0$.
- Além disso, se desejamos encontrar a altura máxima para que haja o tensionamento da corda, deve essa algura ocorre imediatamente antes da tensão desaparecer, ou seja imediatamente antes da tração $\vec{T}$ ser reduzida a zero.
Então um bom caminho é tornar $\vec{T}=0$ e encontrar a posição de F (o comprimento B até F é o raio R) para esse caso. Qualquer valor menor que esse servirá, então esse é o valor limite, ele próprio não incluido. (Como isso é escrito matematicamente, por exemplo em termos de conjuntos?).
Depois dessas considerações, concluimos que, $-m\;g=-\frac{m\;v^2}{F}\Rightarrow v_f^2=F\;g$, então
$$E_{s_f}=m\;g\;(2\;F)+\frac{1}{2}\;m\;F\;g=\frac{5}{2}\;m\;g\;F$$Pelo princípio da Conservação da Energia Mecânica:
$E_{s_i}=E_{s_f}\Rightarrow m\;g\;l=\frac{5}{2}\;m\;g\;F\Rightarrow $
$$F=\frac{2}{5}\;l$$Lembrando que esse comprimento é a partir do ponto B.